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Titelaufnahme

Titel
On the simulation of spin systems with tensor networks and the numerical optimization of quantum algorithms / von Volckmar Nebendahl
VerfasserNebendahl, Volckmar
GutachterDür, Wolfgang
Erschienen2015
UmfangXXII, 437 S. : Ill., graph. Darst.
HochschulschriftInnsbruck, Univ., Diss., 2015
Anmerkung
Enth. u.a. 9 Veröff. d. Verf. aus den Jahren 2008 - 2015
Datum der AbgabeDezember 2015
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Tensornetzwerke / Matrixproduktzustände / Matrixproduktoperatoren / MPS / MPO / iMPS Algorithmus / Rydbergatome / Ionenfallen / Quantenalgorithmen / Quantenfehlerkorrektur / Mølmer-Sørensen-Gatter / concatenated tensor network states / CTS / unendliche Spinketten / zeitgemittelte Dichtematrix / Thermalisierung
Schlagwörter (EN)tensor networks / matrix product states / matrix product operators / iMPS algorithm / Rydbergatoms / trapped ions / quantum algorithm / quantum error correction / Mølmer-Sørensen gate / concatenated tensor network states / CTS / MPS / MPO / infinite spin chains / time averaged density matrix / thermalization / quantum spin system
Schlagwörter (GND)Quantenspinsystem / Ionenfalle / Hilbert-Raum
URNurn:nbn:at:at-ubi:1-3839 Persistent Identifier (URN)
Zugriffsbeschränkung
 Das Werk ist frei verfügbar
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On the simulation of spin systems with tensor networks and the numerical optimization of quantum algorithms [29.49 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

Im ersten Teil der Doktorarbeit beschäftigen wir uns mit Tensornetzwerken und deren Anwendung. Im zweiten Teil widmen wir uns primär dem Problem, die experimentelle Durchführbarkeit von Algorithmen auf Quantencomputern numerisch zu optimieren. Dabei leiten wir sowohl allgemeingültige Zusammenhänge her als auch Ergebnisse, die auf die Besonderheiten in Ionenfallen abgestimmt sind.

Die Dimension des Hilbertraums eines Quantenspinsystems wächst exponentiell mit der Anzahl der beteiligten Einzelsysteme. Trotzdem sind viele physikalisch interessante Zustände in einem relativ kleinen Unterraum zu finden, der durch Tensornetzwerke effizient beschrieben werden kann. Neben einer Einführung in die allgemeine Theorie der Tensornetzwerke durchleuchten wir auch die Möglichkeit, Tensornetzwerke ineinander zu verschachteln. Weiterhin zeigen wir analytisch, wie der Großteil der gebräuchlichsten Hamiltonoperatoren für Quantenspinsysteme als Tensornetzwerk dargestellt werden kann.

Ausgerüstet mit diesem Hilfsmittel entwickeln wir zwei numerische Algorithmen, basierend auf Tensornetzwerken. Beim ersten Algorithmus zielen wir auf die Berechnung der Grundzustände unendlich langer Spinketten mit langreichweitigen Wechselwirkungen. Hierbei gilt unser besonderes Interesse Phasen mit gebrochener Translationsinvarianz, zu deren Berechnung zahlreiche Verbesserungen des Standardalgorithmus vorgestellt werden. Dies wird untermauert durch detaillierte numerische Studien an drei verschieden Modellen für Spinketten mit langreichweitigen Wechselwirkungen, bestehend aus polaren Bosonen und Rydbergatomen.

Als zweites eigenständiges Beispiel zur Anwendung von Tensornetzwerken entwickeln wir einen Algorithmus zur Berechnung zeitgemittelter Dichtematrizen, denen eine zentrale Rolle bei der Thermalisierung geschlossener Quantensysteme zukommt. Dazu zeigen wir zuerst, dass das Auffinden zeitgemittelter Dichtematrizen als Optimierungsproblem formuliert werden kann. Anschließend stellen wir einen Algorithmus vor, der diese Optimierung numerisch durchzuführen vermag, und belegen dies durch zahlreiche Ergebnisse.

Im zweiten Teil der Doktorarbeit geht es primär um die Realisierung von Quantencomputeralgorithmen. Diese müssen in Untereinheiten, bestehend aus Sequenzen experimentell durchführbarer Operationen, zerlegt werden. Zu diesem Zweck untersuchen wir numerische Methoden, die diese Sequenzen optimal auf das jeweils zugrunde liegende Quantensystem anpassen. Neben der Herleitung allgemeingültiger Zusammenhänge entwickeln wir auch einen Optimierungsalgorithmus, der auf die Besonderheiten von Ionenfallenexperimenten abgestimmt ist. Ein besonderes Augenmerk ist dabei auf das Thema Quantenfehlerkorrektur gerichtet. Hier identifizieren wir verschiedene Freiheitsgrade, die bei der Optimierung ausgenutzt werden können. Dies wird durch zahlreiche numerische Resultate belegt sowie durch die erste experimentelle Durchführung einer wiederholten Quantenfehlerkorrektur.

Weiterhin analysieren wir die Möglichkeit, Tensornetzwerke zu nutzen, um Quantenalgorithmen auf größeren Systemen zu optimieren. Zu diesem Zweck entwickeln wir eine analytische Tensornetzwerkdarstellung des sogenannten Mølmer-Sørensen-Gatters, dem zuverlässigsten verschränkenden Gatter in Ionenfallenexperimenten. Ergänzend stellen wir auch noch einige Hilfsmittel zur analytischen Konstruktion von Sequenzen bereit, die auf Mølmer-Sørensen-Gattern beruhen.

Zusammenfassung (Englisch)

In the first part of this thesis, various tensor network methods are studied. In the second part, we mainly address the problem how optimal control theory can help to improve the realization of quantum algorithms. Here, we present fundamental results which are independent of the physical realization, as well as results which are specific for a trapped ions setup.

While the Hilbert space dimension of a quantum spin system scales exponentially with the number of constituents (spins), many physical states of interest can still be found in a small subspace which can be parametrized efficiently by tensor networks. Next to an introduction into the general theory of tensor networks, we also investigate concatenated tensor networks. On a more practical level, we demonstrate the analytic construction of quantum spin Hamiltonians as tensor networks. Equipped with this tool, we explain two major numerical algorithms based on tensor networks. As a first algorithm, we look into the ground state calculation of infinitely long spin chains with long-range interactions. Here, special attention is paid to phases with broken translational invariance for which several improvements of the standard algorithm are presented. The usefulness of this enhanced algorithm is demonstrated by detailed studies of the phase diagrams of three different types of long-range interacting spin chains composed of polar bosons and Rydberg atoms.

As a second tensor network algorithm, we study the calculation of time averaged density matrices, which are of interest in the context of thermalization. As a first step, we show that time averaged density matrices can be found as solution of an optimization problem. In a second step, an algorithm for solving this optimization is explained in detail and several numerical results are presented.

The second part of the thesis primarily looks into the realization of quantum algorithms. These have to be decomposed into subunits consisting of sequences of experimentally realizable operations. We study numerical methods to optimize these sequences for a given quantum system. Hereby, we derive general relations as well as a numerical algorithm tailored for trapped ions. A special focus is on quantum error correction codes, for which we identify some degrees of freedom which can be exploited in the optimization. This is demonstrated by several numerical results for trapped ions and the first experimental realization of a repetitive quantum error correction.

Further, we consider the possibility to use tensor networks to optimize quantum algorithms on larger systems. To this end, a tensor network representation is derived analytically for the so-called Mølmer-Sørensen gates, the sole entangling gates in our trapped ion setup. Finally, we also provide some tools for the analytic construction of subsequences based on Mølmer-Sørensen gates.