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Titelaufnahme

Titel
Splitting methods for nonlinear Schrödinger equations / Thomas Kassebacher
VerfasserKassebacher, Thomas
GutachterThalhammer, Mechthild ; Koch, Othmar
Erschienen2015
Umfang176 S. : Ill., graph. Darst.
HochschulschriftInnsbruck, Univ., Diss., 2015
Anmerkung
Enth. u.a. 1 Veröff. d. Verf. aus den Jahren 2015
Datum der AbgabeOktober 2015
SpracheDeutsch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Splitting Methoden / Evolutionsgleichungen / Konvergenz / Nichtlineare Schrödingergleichungen / Finite Elemente Methode
Schlagwörter (EN)Splitting methods / Evolutionary problems / Convergence / Nonlinear Schrödinger equations / Finite Element Method
Schlagwörter (GND)Nichtlineare Schrödinger-Gleichung / Spaltungssatz / Finite-Elemente-Methode
URNurn:nbn:at:at-ubi:1-3395 Persistent Identifier (URN)
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Splitting methods for nonlinear Schrödinger equations [5.66 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

Splitting Methoden sind in der numerischen Analysis von grundlegendem Interesse, da sie die Komplexität eines Problems erheblich reduzieren können. In den letzten Jahren wurde intensiv am quantitativen und qualitativen Verhalten der numerischen Lösung dieser Zeitdiskretisierungsmethode geforscht, im Besonderen an der Anwendbarkeit für lineare und nichtlineare Schrödingergleichungen.

In dieser Dissertation untersuchen wir zwei charakteristische Fälle von nichtlinearen Schrödingergleichungen: Die kubische Schrödingergleichung im semiklassischen Regime und die Schrödinger-Poisson-Gleichung mit finiter Elemente Ortsdiskretisierung.

Im ersten Teil beschäftigen wir uns mit dem Fehlerverhalten von Splittingmethoden im semiklassischen Regime. Dabei analysieren wir die Ordnungsreduktion bei Verwendung der Strang-Splitting Methode und erarbeiten theoretische Schranken, welche Einschränkungen an die Zeitschrittweite festlegen. Darauf aufbauend empfehlen wir die Verwendung von adaptiven Splittingmethoden und präsentieren einen lokalen a posteriori Fehlerschätzer.

Im zweiten Teil erläutern wir den Einfluss der Ortsdiskretisierung auf das Fehlerverhalten der numerischen Lösung. Wir zeigen, dass bei ausreichend regulären Anfangswerten die volle Konvergenzordnung des Verfahrens erzielt werden kann. Außerdem geben wir Regularitätsanforderungen an und zeigen anhand von numerischen Beispielen, dass bei einer Verletzung dieser Bedingungen Ordnungsreduktionen auftreten.

In einem letzten Kapitel beschäftigen wir uns mit Langzeitintegration von Schrödingergleichungen und gehen auf die Energieerhaltung von Splittingmethoden ein.

Zusammenfassung (Englisch)

The concept of splitting methods is of general interest, since it reduces the complexity

of a given system. In recent years, the quantitative and qualitative behavior of these

time discretization methods has been extensively studied, in particular the application

to linear and nonlinear Schrödinger equations.

In this thesis, we examine two characteristic cases of nonlinear Schrödinger equations:

the cubic Schrödinger equation in the semiclassical regime, and the Schrödinger-

Poisson equation with finite element spatial discretization.

In a first part, we focus on the specific error behavior of the splitting solution

in the semiclassical regime. In this context, we analyze the order reduction of the

Strang splitting method. We deduce theoretical bounds implying restrictions on the

time stepsizes. We propose the use of adaptive time splitting methods and present a

specific a posteriori local error estimator.

In a second part, the influence of the spatial discretization on the error behavior

on the splitting solutions is studied. We prove that the full order of convergence is

obtained for sufficiently regular initial data. Furthermore, we detail the necessary regularity

requirements and present numerical illustrations, which confirm the expected

order reduction for cases where these conditions are violated.

In an additional chapter, we study the longtime energy conservation properties of

the proposed splitting methods.