Titelaufnahme

Titel
Stochastic differential equations, random sets and distributions / Lukas Wurzer
VerfasserWurzer, Lukas
Begutachter / BegutachterinOberguggenberger, Michael ; Ostermann, Alexander
GutachterOberguggenberger, Michael
Erschienen2015
UmfangXII, 94 S. : Ill., graph. Darst.
HochschulschriftInnsbruck, Univ., Diss., 2015
Anmerkung
Zsfassung in dt. Sprache
Datum der AbgabeJuni 2015
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Stochastischer Prozess / Differentialgleichung / Distribution / Random Set / Messbarkeit / Wellengleichung / BSDE / Martingalproblem / Kovarianz / Diffusion
Schlagwörter (GND)Stochastischer Prozess / Differentialgleichung / Wellengleichung / Martingaltheorie / Kovarianz <Stochastik>
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Zusammenfassung (Deutsch)

Die Arbeit besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geht es um die stochastische Wellengleichung mit einem intervallwertigen Parameter, wobei die stochastische Komponente als weißes Rauschen in Raum und Zeit modelliert wird. Je nach Anzahl der Raumdimensionen führt dies zu zufälligen Mengen (random sets) auf Funktionen- oder Distributionenräumen, und es werden Berechnungsmethoden für obere und untere Wahrscheinlichkeiten entwickelt. Im Fall von drei oder mehr Raumdimensionen führt dies zu mengenwertigen Funktionen mit Werten im Distributionenraum D'. Dabei kann der zentrale Satz über die Messbarkeit von mengenwertigen Funktionen (fundamental measurability theorem) nicht angewendet werden, da dieser Metrisierbarkeit voraussetzt. Stattdessen wird die Messbarkeit mit Hilfe einer geeigneten abzählbaren Menge von offenen Mengen in D' bewiesen.

Der zweite Teil ist eine leicht überarbeitete Version eines Preprints mit Francesco Russo von der ENSTA ParisTech. Es werden elliptische partielle Differentialgleichungen betrachtet, wobei der Differentialoperator L eine distributionelle Drift besitzt. Existenz und Eindeutigkeit von verallgemeinerten C1-Lösungen werden untersucht. Der Generator L erzeugt einen Markov-Prozess X, welcher die Lösung einer stochastischen Differentialgleichung mit distributioneller Drift ist. Werden für die semilineare partielle Differentialgleichung Randwerte gefordert, so steht deren Lösung in Beziehung zu einer BSDE (backward stochastic differential equation) mit einer zufälligen Endzeit und Vorwärtsprozess X. Da X eine schwache Lösung der Vorwärtsgleichung ist, ist der antreibende Prozess der BSDE ein Martingal. Abschließend wird die Eindeutigkeit der Lösung einer BSDE mit zufälliger Endzeit diskutiert, deren antreibender Prozess ein allgemeines càdlàg Martingal ist.