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Titelaufnahme

Titel
The Density-potential mapping in quantum dynamics : "There and back again" / Markus Penz
VerfasserPenz, Markus
Betreuer / BetreuerinGrübl, Gebhard
ErschienenInnsbruck, June 2016
Umfangvi, 266 Seiten
HochschulschriftUniversität Innsbruck, Dissertation, 2016
Datum der AbgabeJuli 2016
SpracheEnglisch
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Quantenphysik / Quantentheorie / Quantendynamik / Dichtefunktionaltheorie / Schrödingergleichung / Sobolev Regularität / funktionale Differenzierbarkeit / Dichte-Potential Abbildung / Runge-Gross Theorem / Fixpunktverfahren
Schlagwörter (EN)quantum physics / quantum theory / quantum dynamics / density functional theory / Schrödinger equation / Sobolev regularity / functional differentiability / density-potential mapping / Runge-Gross theorem / fixed-point procedure
Schlagwörter (GND)Quantenphysik / Quantentheorie / Dichtefunktionalformalismus / Schrödinger-Gleichung / Sobolev-Raum / Fixpunkttheorie
URNurn:nbn:at:at-ubi:1-5447 Persistent Identifier (URN)
Zugriffsbeschränkung
 Das Werk ist frei verfügbar
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The Density-potential mapping in quantum dynamics [1.78 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

vorliegende Arbeit befasst sich eingehend mit der Möglichkeit einer eins-zu-eins Abbildung von Ladungsdichten als Ergebnis der zeitabhängigen Schrödingergleichung auf externe Potentiale. Die Existenz einer solchen Abbildung wird durch das Runge-Gross Theorem sichergestellt und bildet die Grundlage für die zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie. Nach einer Einführung in die notwendigen mathematischen Konzepte wird die übliche Abbildung von Potentialen auf die Wellenfunktion als Lösung der Schrödingergleichung untersucht, wobei besonderes Augenmerk auf Sobolev-Regularität gelegt wird. Diese Untersuchung wird noch weiter verfeinert, da auch die Frage nach funktionaler Differenzierbarkeit der Lösungen bezüglich des Potentials auftritt, was eine Verbindung zur linearen Antworttheorie eröffnet. Schließlich wird nach einer Einleitung zur allgemeinen Dichtefunktionaltheorie die Abbildung in die umgekehrte Richtung, von Dichten auf Potentiale und damit die Schrödingergleichung mit einer festen Anfangswellenfunktion umkehrend, definiert. Neben dem ursprünglichen Runge-Gross Theorem wird dies durch Anwendung eines neuartigen Fixpunktverfahrens erreicht. Beide Zugänge sind von mathematischen Problemfällen geprägt, die jedoch zum Teil erfolgreich mit den ausgeführten Techniken gelöst werden konnten.

Zusammenfassung (Englisch)

This work studies in detail the possibility of defining a one-to-one mapping from charge densities as obtained by the timedependent Schrödinger equation to external potentials. Such a mapping is provided by the Runge-Gross theorem and lies at the very core of time-dependent density functional theory. After introducing the necessary mathematical concepts, the usual mapping “there” - from potentials to wave functions as solutions to the Schrödinger equation - is revisited paying special attention to Sobolev regularity. This is scrutinised further when the question of functional differentiability of the solution with respect to the potential arises, a concept related to linear response theory. Finally, after a brief introduction to general density functional theory, the mapping "back again" - from densities to potentials thereby inverting the Schrödinger equation for a fixed initial state - is defined. Apart from utilising the original Runge-Gross proof this is achieved through a fixed-point procedure. Both approaches give rise to mathematical issues, previously unresolved, which however could be dealt with to some extent within the framework at hand.